Борис Захарович родился 17 января 1919 году в г. Тбилиси. В 1938 году поступил в Воронежский медицинский институт на лечебный факультет. После ускоренного выпуска в июле 1942 года был мобилизован в ряды Красной Армии. Службу проходил в должности старшего врача 136-го танкового полка 8-й гвардейской кавалерийской дивизии. В период боевых действий полка Б.З. Азнаурьянц показал себя знающим свое дело врачом. Будучи на Южном фронте, организовал сборный и эвакуационный санитарные пункты, так как эвакогоспитали были значительно удалены от передовой линии. Благодаря инициативе и находчивости Б.З. Азнаурьянца 8 офицеров, 12 сержантов и рядовых солдат вернулись в строй прямо с полкового сборного санитарного пункта. В период действий полка на Западном фронте по его инициативе 11 офицеров и 17 человек сержантского состава не находились на излечении при полковом медпункте, а получили необходимую помощь и вернулись в строй. Кроме этого, лично им было спасено из трех горящих танков 8 тяжелораненых танкистов. Боевой путь Бориса Захаровича прошел от стен Сталинграда через Польшу, Румынию и закончился в Чехословакии. В 1943 году он вступил в ряды ВКП(б). Войну закончил майором медицинской службы. За военные заслуги был удостоен многих государственных наград: орденов Отечественной войны I и II степеней, двух медалей «За боевые заслуги», медали «За оборону Сталинграда».
После войны Борис Захарович продолжил военную службу. В 1960 году в звании полковника медицинской службы Борис Захарович был назначен в Ставропольский государственный медицинский институт на должность старшего преподавателя – начальника учебной части кафедры военно-медицинской подготовки.
В августе 1966 года Борис Захарович перевелся на работу в Дагестанский мединститут. По воспоминаниям доцента Ю.А. Филимонова, впоследствии Борис Захарович Азнаурьянц проживал в родном городе Тбилиси.